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「アドバンスセミナー 二次関数 変化の割合」

■2018/09/27 「アドバンスセミナー 二次関数 変化の割合」
「アドバンスセミナー 二次関数 変化の割合」
2学期の定期テストもあと約1カ月に迫り、定期テストに向けた勉強もいよいよ本格化してきていると思います。
中学3年生の皆様は、高校入試に係わる定期試験として、さぞや意気込んでいるのではないでしょうか。

 さて、中学3年生の場合、学校でも2次関数を扱っているかと思います。2次関数は入試の大問でも、一行問題でも扱われる、大事な単元です。そのなかで、生徒から「2次関数になったとたん、変化の割合の問題がわからない」という声をよく聞きます。なぜかをよく考えてみました。

 変化の割合とは、公式で
(変化の割合)=(yの増加量)➗(xの増加量)
と求めるものです。これは中学1年生から出てきていますが、中学2年生まで、そんなに強く意識してこなかったと思います。

 理由はよくわかります。中学1年生・2年生ででる変化の割合は、ほとんど計算らしい計算が出てこなかったからです。その理由は、中学1年生で比例(一般式;y=ax)、中学2年生で1次関数(一般式;y=ax+b)の時、変化の割合は計算しなくても、そのaの値と等しくなったからです。(例)y=3x+4なら、変化の割合は3)

 これは、比例・1次関数ともに、傾き(xが1増加した時のyの増加量)が常に一定で、この傾きこそが、つまり変化の割合で計算して求められるものと等しいからです。ちなみに、変化の割合(=傾き)が常に一定だからこそ、比例・1次関数はグラフを書くと直線になるのです。(1年生の時には同時に反比例を勉強していたと思います。が、反比例では、ほとんど変化の割合が出題されないため、気にならなかったと思います。)

 ところが、中学3年生になって、突然様子が変わります。今、勉強している2次関数(一般式;y=ax2)では、式を見ただけで、変化の割合がいくつかはわかりません。さらにいうと、xの変域(xが○から△まで増加する)によって、変化の割合が変わります。一つの2次関数の中でです。

 これは、2次関数のグラフを書けば、一目瞭然です。2次関数のグラフは放物線。Aの値によって、開く(凸になる)向きに違いがあるものの、xの変域によって、yは増加したり、減少したり変わってしまうのです。(逆から言えば、だからこそ2次関数のグラフは放物線になるのです)

では、「何とか楽に解く方法はないのかな?」それでは教科書にない、比較的楽な計算方法を特別に教えましょう!

2次関数y=ax2で、xがpからqまで変化する時の変化の割合は、

a(p+q)

 「たったそれだけ?」と思った皆様、そうです。たったこれだけでいいのです。
(例) 2次関数y=3x2で、xが-2から4まで増加する時の変化の割合は、
          3(-2+4)=6
で計算可能です。
また、2次関数の変化の割合の応用問題として、
(例2) 2次関数y=ax2で、xが-3から6まで変化する時、1次関数y=3x+2と変化の割合が等しくなった。Aの値を求めよ。
という問題は、
        a(-3+6)=3 (左辺は2次関数の公式、右辺は1次関数のaより)
と1次方程式にして、
             a=1
で計算可能です。
2次関数の変化の割合の公式で、簡単に問題を解けるようになりますよ。

なお、学校の先生の中には、「この公式は解き方を証明しなければ、使わせない!」とおっしゃった方もいます。もちろん上記公式には証明方法があります。

 アドバンスで是非定期テスト対策講座を受講しませんか?問題を正しく(そして出来るだけ楽に)解けるコツ、たくさん紹介いたします。


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